Question

【题目】如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．

（1）求抛物线m的解析式；

（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；

（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣x+1；(2)点P坐标为（3，）；(3)点Q坐标为（9，4）或（15，16）．

【解析】

试题分析：（1）抛物线顶点在x轴上则可得出顶点纵坐标为0，将解析式进行配方就可以求出a的值，继而得出函数解析式；（2）作出B点关于l的对称点B′，连接EB′交l于点P，如图所示,，三角形BEP为顶点的三角形的周长最小，再求出直线B′E的解析式，进而得出P点坐标；（3）先求出直线FD的解析式，结合以线段FQ为直径的圆恰好经过点D这个条件，明确∠FDG=90°，得出直线DG解析式的k值与直线FD解析式的k值乘积为﹣1，利用D点坐标求出直线DG解析式，将点Q坐标用抛物线解析式表示后代入DG直线解析式可求出点Q坐标．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上

∴配方得y=a（x﹣3）2﹣9a+1，则有﹣9a+1=0，解得a=

∴A点坐标为（3，0），抛物线m的解析式为y=x2﹣x+1；

（2）∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为（6，1）

∴连接EB′交l于点P，如图所示

设直线EB′的解析式为y=kx+b，把（﹣7，7）（6，1）代入得

解得，

则函数解析式为y=﹣x+

把x=3代入解得y=，

∴点P坐标为（3，）；

（3）∵y=﹣x+与x轴交于点D，

∴点D坐标为（7，0），

∵y=﹣x+与抛物线m的对称轴l交于点F，

∴点F坐标为（3，2），

求得FD的直线解析式为y=﹣x+，若以FQ为直径的圆经过点D，可得∠FDQ=90°，则DQ的直线解析式的k值为2，

设DQ的直线解析式为y=2x+b，把（7，0）代入解得b=﹣14，则DQ的直线解析式为y=2x﹣14，

设点Q的坐标为（a，），把点Q代入y=2x﹣14得

=2a﹣14

解得a1=9，a2=15．

∴点Q坐标为（9，4）或（15，16）．