Question

如图，△ABC内接于⊙O，弦AD平分∠BAC，与BC交于点G，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）找出图中相等的弦；
（2）求证：△BDG∽△ABD；
（3）求证：EC=BF．

Answer 1

（1）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD；

（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DBC=∠DAC=∠BAD，
∵∠GDB=∠BDA，
∴△BDG∽△ADB；

（3）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DE，且∠F=∠DEC=90°，=，BD=CD，
∴Rt△BDF≌Rt△EDC，
∴EC=BF．
分析：（1）根据弦AD平分∠BAC可知∠BAD=∠CAD，由圆心角、弧、弦的关系可知BD=CD；
（2）由AD平分∠BAC，可知∠DBC=∠DAC=∠BAD，再根据∠GDB=∠BDA即可得出结论；
（3）根据AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，可知DF=DE，且∠F=∠DEC=90°，=，BD=CD，由HL定理可得出Rt△BDF≌Rt△EDC，故可得出结论．
点评：本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系及相似三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．