Question

在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=mx²-mx+n（m、n为常数）和y轴交于A（0，2

3

）、和x轴交于B、C两点（点C在点B的左侧），且tan∠ABC=

3

，如果将抛物线y=mx²-mx+n沿x轴向右平移四个单位，点B的对应点记为E．
（1）求抛物线y=mx²-mx+n的对称轴及其解析式；
（2）连接AE，记平移后的抛物线的对称轴与AE的交点为D，求点D的坐标；
（3）如果点F在x轴上，且△ABD与△EFD相似，求EF的长．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）求出抛物线的对称轴，求出点B坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出平移后的对称轴方程、点E坐标，利用待定系数法求出直线AE的解析式，进而求出交点D的坐标；
（3）△ABD与△EFD相似，有两种情形，需要分类讨论．

解答：解：（1）抛物线y=mx²-mx+n的对称轴为直线：x=-

-m

2m

=

1

2

．
∵A（0，2

3

），tan∠ABC=

3

，
∴B（2，0）．
∵点A（0，2

3

），B（2，0）在抛物线y=mx²-mx+n上，
∴

n=2 3 4m-2m+n=0

，解得

m=- 3 n=2 3

，
∴抛物线解析式为：y=-

3

x²+

3

x+2

3

．

（2）依题意画出图形，如答图1所示：

B（2，0）向右平移四个单位后的对应点E的坐标为（6，0），
向右平移四个单位后的新抛物线的对称轴为直线x=

9

2

．
设直线AE的解析式为y=kx+b，
将A（0，2

3

），E（6，0）代入得：

b=2 3 6k+b=0

，解得：

k=- 3 3 b=2 3

，
∴直线AE的解析式为：y=-

3

3

x+2

3

．
当x=

9

2

时，y=

3

2

，
∴交点D的坐标为（

9

2

，

3

2

）．

（3）∵A（0，2

3

），E（6，0），
∴tan∠AEB=

3

3

，∴∠AEB=30°，∠EAO=60°；
∵A（0，2

3

），B（2，0），
∴tan∠BAO=

3

3

，∴∠BAO=30°，∴∠BAE=30°．
由答图1，易知AB=

OA

cos30°

=4，NE=

3

2

，DE=

NE

cos30°

=

3

，AE=

OE

cos30°

=4

3

，
∴AD=AE-DE=3

3

．
∵∠BAE=∠AEB=30°，
∴△ABD与△EFD相似，有以下两种情形，如答图2所示：

①若△ADB∽△EDF，则有

EF

AB

=

ED

AD

，
∴EF=

ED

AD

•AB=

3

3 3

×4=

4

3

；
②若△ADB∽△EFD，则有

EF

AD

=

ED

AB

，
∴EF=

ED

AB

•AD=

3

4

×3

3

=

9

4

．
综上所述，符合题意的EF的长度为

4

3

或

9

4

．

点评：本题是二次函数综合题型，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解直角三角形、平移变换、相似三角形等知识点，有一定的难度．第（3）问注意要分类讨论．