Question

在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”，你知道它的意思吗？
它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：3²+4²=5²．
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于4²+7²？

Answer 1

解：（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证．分别以这个直角三角形的三边为边向外作正方形，如图：AC=4，BC=3，

S_{正方形ABED}=S_{正方形FCGH}-4S_Rt△ABC
=（3+4）²-4××3×4
=7²-24
=25，
即AB²=25，
又∵AC=4，BC=3，
AC²+BC²=4²+3²=25
∴AB²=AC²+BC²．

（2）如图（图见题干中图）
S_{正方形ABED}=S_{正方形KLCJ}-4S_Rt△ABC=（4+7）²-4××4×7=121-56=65=4²+7²．
分析：（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证．分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，求出三个正方形的面积，即可证明；
（2）关键是计算S_{正方形ABED}=S_{正方形KLCJ}-4S_Rt△ABC再加以验证即可．
点评：此题主要是根据正方形的面积公式证明勾股定理，需掌握．