Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E，过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=．
（1）求证：BF为⊙O的切线．
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵AB⊥CD，BF∥CD，
∴AB⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴BF为⊙O的切线；

（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=，
∴cos∠BAD==，
∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2．
分析：（1）由AB⊥CD，BF∥CD，可得AB⊥BF，又由AB是⊙O的直径，即可证得BF为⊙O的切线；
（2）首先连接BD，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB是直角，又由AD=3，cos∠BCD=，即可得cos∠BAD==，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及锐角三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用．