Question

已知：直线y=﹣2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，过C作CD⊥x轴于D．求：
（1）点A、B的坐标；
（2）AD的长；
（3）过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（4）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）直线y=﹣2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，
令y=0得﹣2x+2=0，解得：x=1；
令x=0，解得y=2，
∴A（1，0），B（0，2）；
（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
在△ABO和△CAD中，，
∵△ABO≌△CAD（AAS），
∴OB=AD=2；
（3）∵△ABO≌△CAD，
∴OA=CD=1，AD=OB=2，
∴OD=3，
∴C（3，1），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把三点坐标代入得：
，
解得，
∴；
（4）存在3个点使△BCP为等腰三角形，
①当B为顶点，BC=BP时，如图所示：

在直角三角形AOB中，OA=1，OB=2，
根据勾股定理得：AB==，
∴AC=AB=，又△ABC为等腰直角三角形，
∴BP=BC=，在直角三角形OBP₁中，OP₁==，
同理OP₂=，
则P₁（﹣，0），P₂（，0）；
②当C为顶点，CB=CP时，P₃（6，0），
此时B、C、P 在同一直线上，P₃舍去；③当P为顶点，PA=PB时，P₄为线段BC垂直平分线与x轴的交点，
又∵AB=AC，此时P₄与A重合，
则P4（1，0），
综上，满足题意的坐标为P₁（﹣，0），P₂（，0），P₃（1，0）