Question

如图所示，在单位长度为1的正方形网格中，已知Rt△DAE，∠A=90°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°后得到△DCF（∠C=90°），再将△DCF沿DA向左平移6个单位长度后得到△ABH（∠B=90°）．
（1）画出△DCF及△ABH；
（2）AH与DE有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（3）若AH与DE相交于点G，求AG的长．

Answer 1

分析：（1）按要求作图即可．作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．
（2）根据题目给出的作法，显然DE⊥DF，而△ABH由△DCF平移所得，因此AH∥DF，由此可判断出AH与DE的位置关系是垂直．
（3）由图易求得AE、AD、DE的长，然后根据直角三角形的面积不同表示方法即可求出AG的长．

解答：解：（1）如图所示，△DCF、△ABH即为所求．

（2）AH⊥DE；
证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°后得到△DCF，
∴∠EDF=90°；
∵△DCF沿DA向左平移到点A后得到△ABH，
∴AH∥DF，
∴∠EGH=∠EDF=90°，
∴AH⊥DE．

（3）∵∠AGE=∠B=90°，∠GAE=∠BAH，
∴△AEG∽△AHB，
∴

AG

AB

=

AE

AH

；
∵AH=

AB2+BH2

=

62+32

=3

5

，
∴

AG

6

=

3

3 5

，
∴AG=

6 5

5

．
解法二：∵∠EAD=∠AGE=90°，
∴DE=

AE2+AD2

=

32+62

=3

5

，
∴DE•AG=AE•AD，即3

5

•AG=3×6，
∴AG=

6 5

5

．

点评：此题主要考查了旋转变换和平移变换的作图方法，同时还涉及到垂线的判定以及直角三角形面积的计算方法，难度不大．