Question

已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，A点坐标为（-1，0）
（1）求m的值和点B的坐标；
（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，设P为弧CBD上的动点P（P不与C、D重合），连接AP交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH•AP=k？如果存在，请求出常数k；如果不存在，请说明理由；
（3）连接DM并延长交BC于N，交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，试探究BC与FG的位置关系，并求直线FG的解析式．

Answer 1

解：（1）将A（-1，0）代入解析式，
解得m=；
令y=0，即，
解得x₁=-1，x₂=3，
因此B点坐标为（3，0）；

（2）如图，假设存在常数k，满足AH•AP=k
连接CP，由垂径定理可知，
∴∠P=∠ACH（或利用∠P=∠ABC=∠ACO），
又∵∠CAH=∠PAC，
∴△ACH∽△APC，
=，
∴即AC²=AH•AP，
在Rt△AOC中，AC²=AO²+OC²=1²+（）²=4，
∴AH•AP=k=4；
（3）由A（-1，0），B（3，0）C（0，）
根据圆的对称性，易知：⊙M半径为2，
M（ 1，0）D（0，-），
在Rt△DOM中，∠DOM=90°，OM=1，OD=，
∴∠MDO=30°，
易得∠MFG=30°，在Rt△DGE中，∠GDE=30°，DE=4，
∴DG=，OG=，
∴G点的坐标为（0，）
在Rt△GOF中∠OFG=30°，OG=，
∴OF=5，
∴F点的坐标为（5，0）
∴直线FG的解析式为y=-x+．
分析：（1）将A点坐标代入解析式，求出m的值，得出抛物线的具体解析式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即为B点坐标；
（2）连接CP、AP，利用垂径定理、三角形相似（△ACH∽△APC）、勾股定理解答即可；
（3）利用圆的对称性、含30°角的直角三角形的特征、求得点F、G的坐标，就可以解决问题．
点评：此题考查勾股定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、圆的性质以及待定系数法求函数解析式等知识，是一道综合性很强的题目．