Question

19．如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．
（1）图中有几对相似三角形？
（2）若AD=9cm，CD=6cm，求BD；
（3）若AB=25cm，BC=15cm，求BD．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，可得∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，又由公共角相等，证得△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，则可得△ACD∽△CBD∽△ABC；
（2）根据△ACD∽△CBD，从而得出$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，于是得出答案；
（3）根据△CBD∽△ABC，从而得出CB²=AB．BD，于是得出答案．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC，
∴图中有3对相似三角形；

（2）∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{9}{6}=\frac{6}{BD}$，
解得：CD=4；

（3）∵△CBD∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{15}{25}=\frac{BD}{15}$，
解得：BD=9．

点评 本题考查了相似三角形的判定及性质，利用三角形相似，找到线段比．从而求出线段的长度．这是相似三角形中求线段的长常用的方法．