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    （2012•天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

    （1）求抛物线解析式及点D坐标；
    （2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
    （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
    分析：（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；
    （2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．
    （3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，-
    1
    2
    a2+
    3
    2
    a+2），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（-1，0），B（4，0）两点，
    ∴
    a-b+2=0
    16a+4b+2=0
    ，
    解得：
    a=-
    1
    2
    b=
    3
    2

    ∴y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2；
    当y=2时，-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍），
    即：点D坐标为（3，2）．

    （2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
    ①当AE为一边时，AE∥PD，
    ∴P1（0，2），
    ②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
    可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
    ∴P点的纵坐标为-2，
    代入抛物线的解析式：-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2=-2
    解得：x1=
    3+
    		41
    2
    ，x2=
    3-
    		41
    2
    ，
    ∴P点的坐标为（
    3-
    		41
    2
    ，-2），（
    3+
    		41
    2
    ，-2）
    综上所述：P1（0，2）；P2（
    3-
    		41
    2
    ，-2）；P3（
    3+
    		41
    2
    ，-2）．

    （3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，-
    1
    2
    a2+
    3
    2
    a+2），

    ①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
    PQ=2-（-
    1
    2
    a2+
    3
    2
    a+2）=
    1
    2
    a2-
    3
    2
    a，
    又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
    ∴∠FQ′P=∠OCQ′，
    ∴△COQ′∽△Q′FP，
    Q′C
    CO
    =
    Q′P
    FQ′
    ，
    a
    2
    =
    1
    2
    a    2    -
    3
    2
    a
    Q′F
    ，
    ∴Q′F=a-3，
    ∴OQ′=OF-Q′F=a-（a-3）=3，CQ=CQ′=
    		CO2+OQ2
    =
    		32+22
    =
    		13
    ，
    此时a=
    		13
    ，点P的坐标为（
    		13
    ，
    -9+3
    		13
    2
    ），
    ②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，-
    1
    2
    a2+
    3
    2
    a+2＜0，CQ=-a，
    PQ=2-（-
    1
    2
    a2+
    3
    2
    a+2）=
    1
    2
    a2-
    3
    2
    a，
    又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
    ∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
    ∴△COQ′∽△Q′FP，
    Q′C
    CO
    =
    Q′P
    FQ′
    ，
    -a
    2
    =
    1
    2
    a    2    -
    3
    2
    a
    Q′F
    ，Q′F=3-a，
    ∴OQ′=3，
    CQ=CQ′=
    		CO2+OQ2
    =
    		32+22
    =
    		13
    ，
    此时a=-
    		13
    ，点P的坐标为（-
    		13
    ，
    -9-3
    		13
    2
    ）．
    综上所述，满足条件的点P坐标为（
    		13
    ，
    -9+3
    		13
    2
    ），（-
    		13
    ，
    -9-3
    		13
    2
    ）．
    点评：此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目，同学们一定要留意．
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    2n-1
    2
    2n-1
    2
    ．

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    		3
    ≈1.7，
    		2
    ≈1.4）

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