Question

（2013•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，且点B的坐标为（3，0），点E的坐标为（2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点G为抛物线对称轴上的一个动点，H为x轴上一点，当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G、H的坐标；
（3）设直线AE与抛物线对称轴的交点为P，M为直线AE上的任意一点，过点M作MN∥PD交抛物线于点N，以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求点M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点B和点E的坐标代入y=-x²+bx+c，建立二元一次方程组，求出b、c的值即可；
（2）先根据（1）的结论求出A、C的坐标及对称轴，画出函数图象，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F点I关于x轴对称，在x轴上取点H，连接HF、HI、HG、GC、GE、则GF=HI．由待定系数法求出AE的解析式，求出F的坐标，就可以求出CF的值，由勾股定理可以求出EI的值，根据两点之间线段最短，求出求出EI的解析式就可以求出G、H的坐标，由勾股定理就可以求出最小值；
（3）根据平行四边形的性质和AE的解析式就可以求出D的坐标，由抛物线的解析式可以求出D的坐标，求出PD的值，可以设出M的坐标（x，x+1）分情况讨论当M在线段AE上和在线段AE或EA的延长线上时，分别表示出N点的坐标从而求出结论．

解答：解：（1）∵y=-x²+bx+c经过（3，0）和（2，3），
∴

-9+3b+c=0 -2+2b+c=0

，
解得：

b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴对称轴为x=1．
当y=0时，-x²+2x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）．
当x=0时，y=3，
∴C（0，3）
∴CE=2．OC=3
如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F点I关于x轴对称，在x轴上取点H，连接HF、HI、HG、GC、GE、则GF=HI．
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点C点E关于对称轴x=1对称，
∴CG=EG．
设直线AE的解析式为y=kx+b，由题意，得

-k+b=0 2k+b=3

，
解得：

k=1 b=1

，
∴直线AE的解析式为y=x+1．
当x=0时，y=1，
∴F（0，1），
∴OF=1，CF=2．
∵点F与点I关于x轴对称，
∴I（0，-1），
∴OI=1，CI=4．
在Rt△CIE中，由勾股定理，得
EI=

4+16

=2

5

．
∵要使四边形CFHG的周长最小，而CF是定值，
∴只要使CG+GH+HF最小即可．
∵CG+GH+HF=EG+GH+HI，
∴只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小．
设EI的解析式为y=k₁x+b₁，由题意，得

2k1+b1=3 b1=-1

，
解得：

k1=2 b1=-1

，
∴直线EI的解析式为：y=2x-1，
∵当x=1时，y=1，
∴G（1，1）．
∵当y=0时，x

1

2

，
∴H（

1

2

，0），
∴四边形CFHG的周长最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2

5

；

（3）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）
∴直线AE的解析式为y=x+1．
∴x=1时，y=2，
∴P（1，2），
∴PD=2．
∵四边形DPMN是平行四边形，
∴PD=MN=2．
∵点M在AE上，设M（x，x+1），
①当点M在线段AE上时，点N点M的上方，则N（x，x+3），
∵N点在抛物线上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得：x=0或x=1（舍去）
∴M（0，1）．
②当点M在线段AE或EA的延长线上时，点N在M的下方，则N（x，x-1）．
∵N点在抛物线上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得：x=

1- 17

2

或x=

1+ 17

2

，
∴M（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）．
∴M的坐标为：M（0，1）或（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式的运用，四边形周长的最值的运用，轴对称的性质的运用，数学建模的运用，平行四边形的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．