Question

四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90゜，∠DCB=75゜，以CD为边的等边△CDE的顶点E在AB上．
（1）求证：AB=BC；
（2）点F为CD上一点，若∠FBC=30゜．求的值．

Answer 1

证：（1）过D点作DG⊥BC于G．
∴∠DGC=∠DGB=90°．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC=DE，∠DCE=60°．
∵∠DCB=75゜，
∴∠BCE=15°．
∵AD∥BC，∠A=90゜，
∴∠ABC=∠DGC=90°，
∴∠BEC+∠BCE=90°，四边形ABGD是矩形，
∴∠BEC=75°，AB=DG．
∴∠DCB=∠BEC．
在△DGC和△CBE中
，
∴△DGC≌△CBE，
∴DG=BC，
∴AB=BC；
（2）延长BF交AD的延长线于M，
∵∠FBC=30゜，∠DCB=75゜，
∴∠BFC=75°，
∴∠DCB=∠DFC，
∴BF=BC．
∵AD∥BC，
∴∠M=∠FBC=30°．∠MDF=∠BCF．
∵∠A=90゜，
∴BM=2AB．
∴BF=FM=BM．
在△CFB≌△DFB中，
，
∴△CFB≌△DFM，
∴DF=CF，
∴=1．
分析：（1）过D点作DG⊥BC于G．由条件证明△DGC≌△CBE就可以得出DG=BC，再由矩形的性质就可以得出结论；
（2）延长BF交AD的延长线于M，可以得出BF=BC=AB=BM，就可以得出△CBF≌△DFB，得出DF=CF而得出结论．
点评：本题考查了平行线的性质的运用，等边三角形的性质的运用，全等三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时正确添加辅助线是关键．