Question

如图所示，梯形AOBC中，AC∥OB，AO=CB，A（2，2），B（8，0），O（0，0）．
（1）求C点坐标；
（2）在第一象限内确定点M，使以M、O、B三点为顶点的三角形与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

解：（1）过A作AE⊥OB于E，过C作CF⊥OB于F，
∵AC∥OB，AO=CB，A（2，2），
∴OE=BF=2，AE=CF=2，
∵B（8，0），
∴AC=EF=8-2-2=4，
∴OF=2+4=6，
∴C坐标为（6，2）；

（2）连接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
又∵D是圆心，
∴DB=OB=4=AC．
∴ACBD是平行四边形．
∴AD=CB=AO．
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4．
∴AD=AO=4=OB．
∴点A在⊙D上，
∵点A在⊙D上，OB为直径，
∴∠OAB=90°．即△OAB是直角三角形．
故符合题意的点M有以下3种情况：
①当△OM₁B与△BAO相似时（如图），则有，
∴M₁B=AO．
∵CB=AO，∴M₁B=CB．
∴点M₁与点C重合．
∴此时点M₁的坐标为（6，2）；
②当△OM₂B与△OBA相似时，即过B点作OB的垂线交OA的延长线于M₂（如图），则有，
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4，
∴M₂B=8，
∴此时点M₂的坐标为（8，8）；
③当△OM₃B与△BOA相似时，即过B点作OB的垂线交OC的延长线于M₃（如图），则有，
∴M₃B=，
∴此时点M₃的坐标为（8，）
综上可知：M的坐标为：（6，2）或（8，8）或（8，）
分析：（1）过A作AE⊥OB于E，过C作CF⊥OB于F，则由A、B的坐标和等腰三角形的性质以及勾股定理即可求得C的坐标；
（2）连接AD，即可证得ACBD是平行四边形，在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4，又由AD=AO=4=OB，则可得点A在⊙D上；∠OAB=90°．即△OAB是直角三角形．故符合题意的点M有以下3种情况：；①当△OM₁B与△BAO相似时（如图），则有，②当△OM₂B与△OBA相似时，即过B点作OB的垂线交OA的延长线于M₂（如图），则有③当△OM₃B与△BOA相似时，即过B点作OB的垂线交OC的延长线于M₃（如图），则有代入数值依次求解即可．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及在直角坐标系中的综合应用．题目比较难，注意辅助线的作法与数形结合思想的合理应用．