Question

如图①，边长为4cm的正方形ABCD的顶点A与坐标原点0重合，边AB在x轴上，点C在第四象限，当正方形ABCD沿x轴以1cm/秒的速度向右匀速运动，运动时间为t秒时，经过A、B两点的抛物线y=ax²+bx+c与y轴相交于E点，其顶点为M．
（1）若正方形ABCD在运动过程中，抛物线y=ax²+bx+c的顶点M保持在正方形的内部，求a的取值范围．
（2）设正方形ABCD在运动过程中，△ABE与△ABM的面积比为k，求k与运动时间为t（秒）之间的关系式．
（3）当正方形ABCD沿x轴向右运动2秒钟时，在抛物线y=ax²+bx+c上存在一个点P，使△ABP为直角三角形，且△OPA∽△OBP，求此时抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据已知得出A（t，0），B（t+4，0），即可得出二次函数的对称轴为x=t+2，设y=a（x-t-2）²+k，进而将A（t，0）代入得k=-4a，再根据-4a＜0，-4a＞-4得出a的取值范围；
（2）根据△ABE与△ABM的面积比为k，分别表示出两三角形面积即可；
（3）由△OPA∽△OBP得出比例式，求出OP=2

3

，进而求出AP的长，得到P点坐标，即可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵A（t，0），B（t+4，0），
∴抛物线对称轴为x=t+2．
设y=a（x-t-2）²+k，
将A（t，0）代入，得k=-4a，
∴y=a（x-t-2）²-4a，
∴顶点M（t+2，-4a），
由-4a＜0，-4a＞-4，
解得：0＜a＜1．

（2）由（1）知M（t+2，-4a），E（0，at²+4at）
k=

1 2 ×4×(at2+4at)

1 2 ×4×4a

=

1

4

t2+t；

（3）∵t=2，
∴y=a（x-4）²-4a，
当y=0时，x₁=2，x₂=6，
∴OA=2，OB=6，
∵△OPA∽△OBP，
∴

OP

OB

=

OA

OP

=

AP

BP

，
∴OP=2

3

（负值舍去），

AP

BP

=

1

3

，
∵△ABP为直角三角形，AB=4，
∴AP=2，BP=2

3

=OP
作DF⊥AB于F，则OF=

1

2

OB=3，
∴PF=

OP2-OF2

=

3

，P（3，-

3

），
由P在抛物线上得，a-4a=-

3

，a=

3

3

，
∴y=

3

3

(x-4)2-

4 3

3

．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的性质和顶点式求二次函数解析式等知识，相似三角形考查经常与二次函数综合出现，题目综合性较强，同学们应注意细心分析利用数形结合尽可能减少错误．