Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为，
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长．

Answer 1

解：（1）令x=0，则y=2，
所以，点C（0，2），
∵点M在直线y=-x+2上，
∴设点M的坐标为M（x，-x+2），
由勾股定理得CM==2，
整理得，x²=4，
解得x₁=2，x₂=-2，
当x₁=2时，y₁=-2+2=0，
当x₂=-2，y₂=-（-2）+2=4
∴M（-2，4）或 M（2，0），
当M（-2，4）时，设抛物线解析式为y=a（x+2）²+4，
∵抛物线过点C（0，2），
∴a（0+2）²+4=2，
解得a=-，
∴y=-x²-2x+2，
当M（2，0）时，设抛物线解析式为y=a（x-2）²，
∵抛物线过点C（0，2）点，
∴a（0-2）²=2，
解得a=，
∴y=x²-2x+2，
∴所求抛物线为：y=-x²-2x+2或y=x²-2x+2；

（2）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴y=x²-2x+2不合题意，舍去．
∴抛物线应为：y=-x²-2x+2，
令y=0，则-x²-2x+2=0，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2+2，x₂=-2-2，
∵点A在B的左侧，
∴点A（-2-2，0），B（-2+2，0），
∴AB=（-2+2）-（-2-2）=4．
分析：（1）先根据直线CM的解析式求出点C的坐标，再设点M的坐标为（x，-x+2），再根据勾股定理列出表示出CM，然后得到方程求解即可得到点M的坐标，然后设抛物线顶点式解析式为y=a（x+2）²+4，把点C的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）令y=0，解关于x的一元二次方程求出点A、B的坐标，然后根据数轴上的两点间的距离列式进行计算即可得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，利用勾股定理求直线上两点间的距离，抛物线与x轴的交点问题，难点不大，仔细分析便不难求解．