Question

10．已知△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF．
（1）如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；
（2）如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP．

Answer 1

分析 （1）过E作CB垂线，交延长线于点M，可证△ACP≌△PEM，得出EM=PC，AC=PM，得出BM=EM，得出∠EBM=45°，求得∠EBP；
（2）类比（1）的方法同样过E作CB垂线，垂足M，最后得出BM=EM，得出∠EBM=45°得出结论．

解答 解：（1）如图，

过E作CB垂线，交延长线于点M，
∵四边形APEF是正方形，
∴∠APE=90°，AP=PE，
∵∠APC+∠PAC=∠APC+∠EPM=90°，
∴∠PAC=∠EPM，
在△ACP和△PEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠EPM}\\{∠C=∠M}\\{AP=PE}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△PEM，
∴AC=MP，PC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=MP，
∴PC=BM，
∴BM=EM，
∴∠EBM=45°，
∴∠EBP=135°．
（2）如图，

作EM⊥CB，垂足为M，
∵四边形APEF是正方形，
∴∠APE=90°，AP=PE，
∵∠APC+∠PAC=∠APC+∠EPM=90°，
∴∠PAC=∠EPM，
在△ACP和△PEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠EPM}\\{∠C=∠M}\\{AP=PE}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△PEM，
∴AC=MP，PC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=MP，
∴PC=BM，
∴BM=EM，
∴∠EBM=45°．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，利用三角形全等的证明方法得出三角形全等是解决问题的关键．