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    我校八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：                        

    （Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

    （Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

    （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.

    （2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.


    解：（1）方案（Ⅰ）不可行. 方案（Ⅱ）可行.

          方案（Ⅰ）缺少证明三角形全等的条件. 方案（Ⅱ）证明：在△OPM和△OPN中

        

    ∴△OPM≌△OPN(SSS)

    ∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等)

    （2）当∠AOB是直角时，此方案可行.

    ∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,

    ∴∠AOB=90°

    ∵若PM⊥OA,PN⊥OB,

    且PM=PN

    ∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上) …

    当∠AOB不为直角时，此方案不可行.   


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