Question

先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，┅┅
（1）根据你发现的规律写出第5个等式：

 

．
（2）探究

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．（用含有n的式子表示）
（3）计算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+┅┅+

1

2007×2009

．

Answer 1

分析：（1）观察发现，每一个等式的左边都是一个分数，其中分子是1，分母是连续的两个正整数之积，并且如果是第n个等式，分母中的第一个因数就是n，第二个因数是n+1；等式的右边是两个分数的差，这两个分数的分子都是1，分母是连续的两个正整数，并且是第n个等式，被减数的分母就是n，减数的分母是n+1．然后把n=5代入即可得出第5个等式；
（2）先将（1）中发现的第n个等式的规律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

代入，再计算即可；
（3）先类比（1）的规律，得出

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），再计算即可．

解答：解：（1）

1

5×6

=

1

5

-

1

6

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+┅┅+

1

2007×2009

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2007

-

1

2009

)
=

1

2

×(1-

1

2009

)
=

1004

2009

．
故答案为：

1

5×6

=

1

5

-

1

6

． 

n

n+1

．

点评：本题考查了规律型：数字的变化，得出

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），以及抵消法的运用是解题的关键．