Question

16．如图，点E是正方形ABCD外一点，BE=3，CE=$\sqrt{6}$，在正方形ABCD内取一点F，△ABF≌△CBE，点E的对应点是F，点C的对应点是A，连结CF，且CF=2$\sqrt{6}$．
（1）∠BFC为75°；
（2）△BFC的面积为$\frac{9+3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′=∠BE′E=45°，再求出∠CFE=30°，即可得出答案．
（2）先求出sin75°=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，由三角形的面积公式△BFC的面积=$\frac{1}{2}$BF×CF×sin75°，代入计算即可．

解答 解：（1）连接EF，如图所示：
∵△ABF≌△CBE，
∴△ABF绕点B顺时针旋转90°到△CBF，BF=BE=3，∠AFB=∠BEC，
∴∠EBF=90°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，EF²=BF²+BE²=18，
∵AF=CE=$\sqrt{6}$，CF=2$\sqrt{6}$，
∴CF²=CE²+EF²，
∴△EFC是直角三角形，
∴∠FEC=90°，
∵CE=$\sqrt{6}$，CF=2$\sqrt{6}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$CF，
∴∠CFE=30°，
∴∠BFC=∠BFE+∠CFE=75°；
故答案为：75；
（2）∵sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴△BFC的面积=$\frac{1}{2}$BF×CF×sin75°=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+3\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{9+3\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定、全等三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．