Question

（2012•顺义区二模）如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP²+BP•PC的值为

4

；若BC边上有100个不同的点P₁，P₂，…，P₁₀₀，记m_i=AP_i²+BP_i•P_iC（i=1，2，…，100），则m₁+m₂+…+m₁₀₀的值为

400

．

Answer 1

分析：第一个空可通过构建直角三角形利用勾股定理和等腰直角三角形的性质证明∴AB²=AP²+BP•PC即可；
第二个空可作AD⊥BC于D．根据勾股定理，得AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，从而求得M_i=AD²+BD²，即可求解．

解答：解：过A作AF⊥BC于F．
在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²；
在Rt△APF中，AF²=AP²-FP²；
∴AB²-BF²=AP²-FP²；
即AB²=AP²+BF²-FP²=AP²+（BF+FP）（BF-FP）；
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC；
∴BF-FP=CF-FP=PC；
∴AB²=AP²+BP•PC=4，
故答案为：4；
作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD．
根据勾股定理，得
AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，
又P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，
∴M_i=AD²+BD²=AB²=4，
∴M₁+M₂+…+M₁₀₀=4×100=400．
故答案为：400．

点评：此题主要运用了勾股定理和等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造直角三角形是解本题的突破点，另外代入进行整理后代换出PC也是同学们不容易考虑到的．