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    如图1，已知点，点B在x轴正半轴上，且∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M、N作等边△PMN．

    （1）求直线AB的解析式；
    （2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值；
    （3）如图2，如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE，点C在线段AB上，从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．
    【答案】分析：（1）已知点A的坐标知道OA的长度，在直角三角形中根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出AB，根据勾股定理求出OB，从而求出B的坐标，最后利用待定系数法求出直线AB的解析式．
    （2）由（1）已经求出AB的长，可以表示出BP的长，题目也告诉了∠ABO的度数，利用三角函数值就可以表示出MP长度，当M到达O点利用30°的直角三角形的特殊关系求出OP，利用勾股定理就可以求出AP，从而求出时间t．
    （3）当点M与原点O重合时，点N与点D也是重合的，这时以PM是否过点E为分点分别计算重合部分的面积．将重合部分的面积用含t的式子表示出来就可以了．
    解答：解：（1）∵A（0，4）
    ∴OA=4
    在Rt△AOB中，∠AOB=90°
    tan∠ABO=
    即tan30°=
    ∴BO=12
    ∴B（12，0）
    设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得：

    解得：
    ∴直线AB的解析式为：y=-x+4

    （2）∵△PMN为等边三角形
    ∴∠PMO=60°
    ∵∠ABO=30°
    ∴∠PMO+∠ABO=90°
    ∴∠MPB=90°
    在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°
    ∴AB=2AO=8
    ∴BP=AB-AP=8-t，在Rt△MPB中，∠MPB=90°
    tan∠ABO=
    即tan30°=
    ∴MP=8-t
    当M与O重合时，在Rt△PBO中，∠ABO=30°，∠BPO=90°
    ∴MP=OB=6，即8-t=6
    ∴t=2

    （3）M与O点重合时PM=MN=6，此时N点与D点重合，如图2，
    当PM过点E时，∠PMB=60°，∠MBA=30°，∴∠MBA=∠ACE=30°，
    ∴∠EAP=60°，
    ∴∠AEP=30°
    ∴AP=AE=，此时t=1
    当0≤t≤1时，设PN交EC于F，过F作FG⊥OB于G，FG=OE=2
    ∵∠PNM=60°，∴GN=2
    ∵PM=8-t，∴BM=2PM=16-2t
    ∴MO=BM-BO=4-2t
    ON=MN-MO=t+4
    EF=OG=ON-GN=t+2
    ∴S=
    =2t+6
    当0＜t≤2时设PM、PN交EC于H、F，S=S梯形EONF-S△EHI．
    由（2）知MO=4-2t，IO=MO=4-2t
    ∴EI=EO-IO=2t-2
    EH=EI=2t-2
    ∴S△EHI=
    =
    ∴S=
    =-
    点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式，勾股定理的运用，三角函数的运用以及图形的面积公式，数学中的动点问题．是一道难度较大的综合试题．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图一，已知点P是边长为a的等边△ABC内任意一点，点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h1，h2，h3，则h1，h2，h3之间有什么关系呢？
    分析：连接PA、PB、PC，则△ABC被分割成三个三角形，根据：
    S△PAB+S△PBC+S△PAC=S△ABC，即：
    1
    2
    ah1+
    1
    2
    ah2+
    1
    2
    ah3=
    		3
    4
    a2    ，可得h1+h2+h3=
    		3
    2
    a    ．
    问题1：若点P是边长为a的等边△ABC外一点（如图二所示位置），点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h1，h2，h3．探索h1，h2，h3之间有什么关系呢？并证明你的结论；
    问题2：如图三，正方形ABCD的边长为a，点P是BC边上任意一点（可与B、C重合），B、C、D三点到射线AP的距离分别是h1，h2，h3，设h1+h2+h3=y，线段AP=x，求y与x的函数关系式，并求y的最大值与最小值．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；精英家教网
    （2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
    （3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
    （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．

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    科目：初中数学 来源：2013-2014学年浙江宁波城区五校联考初三第一学期12月月考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）、D(2, n)三点．

    （1）求抛物线的解析式及点D坐标；

    （2）点M是抛物线对称轴上一动点，求使BM－AM的值最大时的点M的坐标；

    （3）如图2，将射线BA沿BO翻折，交y轴于点C，交抛物线于点N，求点N的坐标；

    (4)在（3）的条件下，连结ON,OD，如图2，请求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    （1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；
    （2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
    （3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
    （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．

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    科目：初中数学 来源：2012年江西省宜春市中考数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

    （1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；
    （2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
    （3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
    （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．

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