Question

函数y=x²+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①抛物线的对称轴为直
线x=； ②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x²+（b-1）x+c＜0；
其中正确的结论是________（写出你认为正确的所有结论序号）．

Answer 1

①③④
分析：由于抛物线过（0，3）、（3，3），根据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为直线x=；把（1，1）代入二次函数解析式得到1+b+c=1，即b+c=0；
把（0，3）得到c=3，再根据对称轴方程得到b=-3，所以3b+c+6=0；根据函数图象得到当1＜x＜3时，正比例函数值比二次函数值大，则x＞x²+bx+c，即x²+（b-1）x+c＜0．
解答：∵抛物线过（0，3）、（3，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=，所以①正确；
∵抛物线过点（1，1），
∴1+b+c=1，即b+c=0，所以②错误；
∵-=，
∴b=-3，
∵抛物线过点（0，3），
∴c=3，
∴3b+c+6=0，所以③正确；
∵当1＜x＜3时，x＞x²+bx+c，即x²+（b-1）x+c＜0，所以④正确．
故答案为①③④．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．