Question

如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线以AC、BD上两点，且AE=DF．
求证：（1）△BOE≌△COF；（2）四边形BCFE是等腰梯形．

Answer 1

分析：本题可以根据全等三角形的判定定理、矩形的性质来证明（1）．根据梯形的判定定理一组对边相互平行，另一组对边不平行的为梯形，由等腰梯形的性质两腰相等为等腰梯形可以证明（2）．

解答：证明：（1）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，
∴OB=OC，OA=OD，
又∵AE=DF，
∴OE=OF，
在△BOE和△COF中，

OE=OF ∠BOE=∠COF OB=OC

，
∴△BOE≌△COF（SAS）；

（2）在等腰△EOF中，∠OEF=

180°-∠EOF

2

，
在等腰△AOD中，∠OAD=

180°-∠EOF

2

，
∴∠OEF=∠OAD，
又∵∠OCB=∠OAD，
∴∠OEF=∠OCB，
∴EF∥BC．
又由题意知，EF≠BC，
∴四边形BCFE是梯形．
由（1）△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴四边形BCFE是等腰梯形．

点评：解决本题的关键是读懂图意，得到相应的四边形的各边之间的关系．熟练掌握三角形以及梯形的性质．