Question

如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆被覆盖部分（阴影部分）的面积为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：连接OK，作OH⊥DK于H，求出AD=2DC，推出DK=2DC，求出∠DA′C=30°，求出∠AOK，分别求出扇形AOK和三角形ODK的面积，相加即可得出答案．

解答：解：如图，作OH⊥DK于H，连接OK．
∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，
∴AD=2CD，
∴A'D=2CD，
∵∠C=90°，
∴∠DA'C=30°，
∴∠ODH=30°，
∴∠DOH=60°，
∴∠DOK=120°，
∴∠AOK=60°，
∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，
∴OH=

3

2

cm，DH=

3 3

2

cm；
∴DK=3

3

cm，
∴△ODK的面积为

1

2

×DK×OH=

1

2

×3

3

cm×

3

2

cm=

9 3

4

cm²，
∴阴影部分的面积S=S_扇形AOK+S_△ODK=

60π×32

360

cm²+

9 3

4

cm²=（

3

2

π+

9

4

3

）cm²
故答案为：（

3

2

π+

9

4

3

）cm²．

点评：此题考查了折叠问题，矩形的性质，切线的性质，含30度角的直角三角形性质，垂径定理的应用，解题时要注意找到对应的等量关系，注意：圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度．