Question

19．已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE
（1）如图①，当∠A=58°，∠B=118°时，求∠C的度数；
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．

Answer 1

分析 （1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF=∠A、∠BCF=180°-∠B，将其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数；
（2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=$\frac{1}{2}$（∠CBE-∠CAD），结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C=180°；
（3）由（2）的结论可得出∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数，将其代入∠DAC：∠ACB：∠CBE中可求出结论．

解答 解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°-∠B，
∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°-（∠B-∠A）=120°．
（2）在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD=$\frac{1}{2}$∠CAD，∠EBQ=$\frac{1}{2}$∠CBE，
∴∠AQB=∠BQM-∠AQM=$\frac{1}{2}$（∠CBE-∠CAD）．
∵∠C=180°-（∠CBE-∠CAD）=180°-2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C=180°．
（3）∵AC∥QB，
∴∠AQB=∠CAP=$\frac{1}{2}$∠CAD，∠ACP=∠PBQ=$\frac{1}{2}$∠CBE，
∴∠ACB=180°-∠ACP=180°-$\frac{1}{2}$∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB=180°，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CBE．
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，
∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，
∴∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD）=120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE=60°：120°：120°=1：2：2．

点评 本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线以及垂线，解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角的计算找出∠ACB=180°-（∠B-∠A）；（2）根据平行线的性质、角平分线的定义找出∠AQB=$\frac{1}{2}$（∠CBE-∠CAD）；（3）由AC∥QB、QP⊥PB结合（1）（2）的结论分别求出∠DAC、∠ACB、∠CBE的度数．