Question

已知，如图，△OAB中，OA=OB，⊙O经过AB的中点C，且与OA、OB分别交于点D、E．

（1）如图①，判断直线AB与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）如图②，连接CD、CE，当△OAB满足什么条件时，四边形ODCE为菱形，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）相切；
理由如下：如图①，连接OC．
∵OA=OB，点C是线段AB的中点，
∴OC⊥AB；
又∵OC是⊙O的半径，点C在⊙O上，
∴直线AB与⊙O相切；

（2）如图②，连接OC，则OC=OD；
∵四边形ODCE为菱形，
∴OD=CD，
∴OC=OD=CD，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠AOC=60°．
由（1）知，∠OCA=90°，
∴∠A=30°（或∠B=30°或∠AOB=120°）．
分析：（1）连接OC．利用等腰三角形的“三合一”的性质证得OC⊥AB，即直线AB与⊙O相切；
（2）根据菱形的性质，求得OD=CD，则△ODC为等边三角形，可得出∠A=30°．
点评：本题考查了切线的判定与性质、菱形的性质．菱形是四条边都相等的平行四边形．