Question

如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．
（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；
（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；
（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）△ABP≌△ACQ，△APC≌△AQD，根据等边三角形的性质以及菱形的性质证明即可；
（2）面积不变，根据三角形ACP和三角形ADQ全等，则四边形APCQ的面积等于三角形ABC或者三角形ACD的面积．
（3）要使三角形PCQ的面积最大，只要等边三角形APQ的面积最小即AP⊥BC时即可．

解答：解：（1）△ABP≌△ACQ，△APC≌△AQD，
在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴AC=CD，
∵∠PAQ=60°，
∴∠CAP=∠DAQ，
∴△ACP≌△ADQ，
同理：△ABP≌△ACQ；
（2）四边形的面积不变为定值，
理由如下：
∵△ACP≌△ADQ，∴S_△ACP=S_△ADQ，
即S_{四边形APCQ}=S_△ACD=

1

2

×2×

3

=

3

；

（3）∵△PAQ是等边三角形，
∴当AP⊥BC时，三角形APQ的面积最小，则三角形PCQ的面积最大．
此时BP=1，即点P在点B右边距离为1时，三角形PCQ的面积最大．

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定，有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．