Question

如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线．将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E．

（1）将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；

②当时，求S关于的函数解析式；

（2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：  

（1）①

，，S_梯形OABC=12

②当时，

直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积

    

（2） 存在

解法二：

①      以点D为直角顶点，作轴

设.（图示阴影）

，在上面二图中分别可得到点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）

E点在0点与A点之间不可能；

② 以点E为直角顶点

同理在②二图中分别可得点的生标为P（－，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.

③     以点P为直角顶点

同理在③二图中分别可得点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），

E点在A点下方不可能.

综上可得点的坐标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、

P（8，4）、P（4，4）．

下面提供参考解法三：

以直角进行分类进行讨论（分三类）：

第一类如上解法⑴中所示图

，直线的中垂线方程：，令得．由已知可得即化简得解得  ；

第二类如上解法②中所示图，

直线的方程：，令得．

由已知可得即化简得解之得 ，

第三类如上解法③中所示图

，直线的方程：，令得．由已知可得即解得

（与重合舍去）．

综上可得点的坐标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、

P（8，4）、P（4，4）．

事实上，我们可以得到更一般的结论：

如果得出设，则P点的情形如下

直角分类情形