Question

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+1（m为常数，且m＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．
（1）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（2）抛物线C₁上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据轴对称的性质可得：AC=BC等腰三角形，借助于辅助线，又可求得∠ACy=45°，可得△ABC为等腰直角三角形；
（2）首先假设成立，根据菱形的性质求解，求得m=

3

，所以存在．

解答：解：（1）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形．　　
理由如下：
如图：∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，
∴AC=BC．　
过点A作抛物线C₁的对称轴，交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E．
当m=1时，顶点A的坐标为A（1，2），
∴CE=1．
又∵点C的坐标为（0，1），AE=2-1．
∴AE=CE．从而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45°．
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴∠ACB=90°．
∴△ABC为等腰直角三角形．　　

（2）假设抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC．
由（1）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC．
∴△ABC为等边三角形．
∴∠ACy=∠BCy=30°．
∵四边形ABCP为菱形，且点P在C₁上，
∴点P与点C关于AD对称．
∴PC与AD的交点也为点E，
因此∠ACE=90°-30°=60°．
∵点A，C的坐标分别为A（m，m²+1），C（0，1），
∴AE=m²+1-1=m²，CE=m．
在Rt△ACE中，tan60°=

AE

CE

=

m2

m

=

3

．
∴m=±

3

，
∵m＞0，
∴m=

3

，
故抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，
此时m=

3

．

点评：此题考查了二次函数与四边形以及轴对称图形的综合知识，解题时要注意辅助线选择与应用，还要注意数形结合思想的应用．