Question

（2010•大连一模）如图1，在△OAB和△OCD中，∠A＜90°，OB=kOD（k＞1），∠AOB=∠COD，∠OAB与∠OCD互补．试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论．
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）（2）中的一个条件，（1）k=1（如图2）；（2）C在OA上，点D与点B重合（如图3）．

Answer 1

【答案】分析：在OA上取一点E，使OE=kOC，连接EB．由，∠AOB=∠COD，根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出△OEB∽△OCD，则EB=kCD，∠OEB=∠OCD，再由已知条件∠OAB与∠OCD互补，证出∠OAB=∠AEB，得出EB=AB，从而有AB=kCD．
如果反复探索没有解决问题，选取（1）k=1．在OA上取一点E，使OE=OC，连接EB．由SAS可证△OEB≌△OCD，得出EB=CD，∠OEB=∠OCD，再由已知条件∠OAB与∠OCD互补，证出∠OAB=∠AEB，得出EB=AB，从而有AB=CD．
如果反复探索没有解决问题，选取（2），C在OA上，点D与点B重合．则由已知条件∠OAB与∠OCD互补，又∠ACB与∠OCD互补，得出∠OAB=∠ACB，进而得出AB=CD．
解答：解：结论是AB=kCD．理由如下：（1分）
在OA上取一点E，使OE=kOC，连接EB．（2分）
∵OB=kOD，
∴（3分）
∵∠AOB=∠COD
∴△OEB∽△OCD（4分）
∴，即EB=kCD
∠OEB=∠OCD（6分）
∵∠OAB+∠OCD=180°，
∴∠OAB+∠OEB=180°，
∵∠AEB+∠OEB=180°，
∴∠OAB=∠AEB，（7分）
∴EB=AB，（8分）
∴AB=kCD．（9分）

选择（1）
结论：AB=CD（1分）
证明：在OA上取一点E，使OE=OC，连接EB．（2分）
∵OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△OEB≌△OCD，（3分）
∴EB=CD，∠OEB=∠OCD，（4分）
∵∠OAB+∠OCD=180°，
∴∠OAB+∠OEB=180°，
∵∠AEB+∠OEB=180°，
∴∠OAB=∠AEB，（5分）
∴EB=AB．（6分）
∴AB=CD（7分）

选择（2）
结论：AB=CD（1分）
证明：∵∠OAB+∠OCB=180°，
∵∠ACB+∠OCB=180°，
∴∠OAB=∠ACB，（2分）
∴CB=AB，
即AB=CD．（3分）
点评：本题主要考查了相似三角形的判定．能够结合已知条件及所学定理，正确地作出辅助线是解决本题的关键．