Question

如图（1），在矩形ABCD 中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN。
（1）求证：△AND ≌△CBM；
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE 是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？
（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ ∥MN，且AB=4 ，BC=3 ，求PC 的长度。

Answer 1

（1 ）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D= ∠B ，AD=BC ，AD ∥BC ，               ∴∠DAC= ∠BCA，            又由翻折的性质，得∠DAN= ∠NAF ，∠ECM= ∠BCM ， ∴∠DAN= ∠BCM ；           ∴△AND≌△CBM（ASA）。 （2 ）证明：∵△AND ≌△CBM ， ∴DN=BM ，             又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，             ∴FN=EM。             又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，           ∴FN∥EM。 ∴四边形MFNE是平行四边形。四边形MFNE 不是菱形，理由如下： 由翻折的性质，得∠CEM= ∠B=900， ∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。 ∴FM＞EM， ∴四边形MFNE不是菱形； （3）解：∵AB=4 ，BC=3 ， ∴AC=5 。             设DN=x ，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC 得3 x＋5 x=12， 解得x=，即DN=BM=， 过点N作NH⊥AB于H，则HM=4-3=1， 在△NHM中，NH=3，HM=1， 由勾股定理，得NM=， ∵PQ∥MN，DC∥AB， ∴四边形NMQP是平行四边形， ∴NP=MQ，PQ= NM=， 又∵PQ=CQ， ∴CQ=， 在△CBQ中，CQ=，CB=3， 由勾股定理，得BQ=1， ∴NP=MQ=， ∴PC=4-