Question

3．根据条件，求下列二次函数的解析式．
（1）函数y=（m-3）x²+mx+（m+3）的最大值为0；
（2）抛物线y=x²-5（m+1）x+2m的对称轴是y轴．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＜0，x=-$\frac{b}{2a}$时，y有最大值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$得到m-3＜0，且$\frac{4（m-3）（m+3）-{m}^{2}}{4（m-3）}$=0，化简得m²-12=0，然后解方程得m₁=2$\sqrt{3}$，m₂=-2$\sqrt{3}$，最后确定满足条件的m的值．
（2）由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．

解答 解：（1）a=m-3，b=m，c=m+3，
∵二次函数有最大值为0，
∴a＜0即m-3＜0，且$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=0，
即$\frac{4（m-3）（m+3）-{m}^{2}}{4（m-3）}$=0，
化简得m²-12=0，m₁=2$\sqrt{3}$，m₂=-2$\sqrt{3}$，
∵m＜3，
∴m=-2$\sqrt{3}$．
故二次函数的解析式为：y=（-2$\sqrt{3}$-3）x²-2$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$+3）．
（2）∵抛物线y=x²-5（m+1）x+2m的对称轴是y轴，
∴m+1=0，解得m=-1，
故二次函数的解析式为：y=x²-2．

点评 本题考查了二次函数的最值问题：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0，x=-$\frac{b}{2a}$时，y有最小值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$；当a＜0，x=-$\frac{b}{2a}$时，y有最大值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$；也考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．．