Question

19．如图，ABCD是⊙O内接矩形，半径r=2，AB=2，E，F分别是AC，CD上的动点，且AE=CF，则BE+BF的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根据圆内接矩形的四个角为90°的性质可知：AC为⊙O的直径；根据轴对称的性质，作辅助线，构建最短路径时的点F，由两点之间线段最短可知：此时BH最小，也就是BF+OF为最小，接着证明OF=BE即可，利用三角形全等可得结论；并利用勾股定理求出BH的长．

解答 解：作O关于CD的对称点H，连接OH，交CD于G，过H作直线BC的垂线，垂足为M，连接BH交CD于F，连接OF，此时BF+OF为最小，
∴∠ABC=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∵半径r=2，AB=2，
∴OC=AB=OA=OB=2，
∴△OAB是等边三角形，
∵ABCD是⊙O内接矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠BAO，
∵AB=2，AC=4，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△COF，
∴BE=OF，
∴BE+BF=OF+BF，
由对称性得：OF=FH，OG=GH，
∴BE+BF=BF+FH=BH，
∵OC=OD，OH⊥CD，
∴CG=DG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵∠CGH=∠GCM=∠M=90°，
∴四边形GCMH是矩形，
∴CM=GH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，HM=CG=1，
在Rt△BHM中，由勾股定理得：BH=$\sqrt{H{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{3}+\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
即BF+BE的最小值为2$\sqrt{7}$；
故选B．

点评 本题考查了轴对称的最短路径问题、矩形、圆周角定理、勾股定理，此类题的关键是找到最短路径中的动点的位置：可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点；构建恰当的直角三角形，利用勾股定理计算线段的和取最小值时的长．