Question

已知a、b、c是实数．若

b2+c2-a2

2bc

、

c2+a2-b2

2ca

、

a2+b2-c2

2ab

之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1．

Answer 1

分析：首先由题设得出

(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)

2abc

=0，分别得出a+b-c=0或c-a+b=0或c+a-b=0，然后分别求出三个分数的值．

解答：证明：由题设得：

b2+c2-a2

2bc

+

c2+a2-b2

2ca

+

a2+b2-c2

2ab

=1，
即（

b2+c2-a2

2bc

-1）+（

c2+a2-b2

2ca

-1）+（

a2+b2-c2

2ab

+1）=0，
∴

b2+c2-a2-2bc

2bc

+

a 2+c2-b2-2ac

2ac

+

a2+b2-c2+2ab

2ab

=0，

∴

(b-c) 2-a2

2bc

+

(a-c) 2-b2

2ac

+

(a+b) 2-c2

2ab

=0，
∴

a(b-c+a)(b-c-a)+b(a-c+b)(a-c-b)

2abc

+

c(a+b+c)(a+b-c)

2abc

=0，
∴

(a+b-c)(ab-ac-a2+ab-bc-b2+ac+bc+c2)

2abc

=0，

∴

(a+b-c)[c2-(a-b) 2]

2abc

=0，
∴

(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)

2abc

=0，
∴a+b-c=0或c-a+b=0或c+a-b=0，
（1）若a+b-c=0，则

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-(b-c) 2

2bc

=1，

c2+a2-b2

2ca

=

c2+a2 -(c-a) 2

2ac

=1，

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-(a+b) 2

2ab

=-1，
（2）若c+a-b=0，同理可得：

b2+c2-a2

2bc

=1，

c2+a2-b2

2ca

=-1，

a2+b2-c2

2ab

=1，
（3）若b+c-a=0，同理可得：

b2+c2-a2

2bc

=-1，

c2+a2-b2

2ca

=1，

a2+b2-c2

2ab

=1，
综上所述（1）、（2）、（3）可得，三个分数，

b2+c2-a2

2bc

、

c2+a2-b2

2ca

、

a2+b2-c2

2ab

的值有两个为1，一个为-1．

点评：此题主要考查了分式的等式证明的知识点，解答本题的关键是

(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)

2abc

=0，进而分析得出．