Question

如图所示，∠BAC=30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．
（1）求证：△AFD为等腰三角形；
（2）若DF=10cm，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：如图所示，
∵DF∥AC，
∴∠3=∠2，
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴FD=FA，
∴△AFD为等腰三角形．

（2）解：过D作DG⊥AB，垂足为G，
∵∠1=∠2=∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠1=15°，
又∵∠1=∠3，
∴∠1=∠3=15°，
∴∠GFD=∠1+∠3=15°+15°=30°，
在Rt△FDG中，DF=10cm，∠GFD=30°，
∴DG=5cm，
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG=5cm．
分析：（1）利用平行线和角平分线的性质，证得等角，利用等角对等边这一判定定理证明△AFD为等腰三角形．
（2）AD是角平分线，易证∠GFD=30°，又△GFD是直角三角形，所以30°锐角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，求出DE=5．
点评：本题考查了角平分线和平行线的性质及等腰三角形的判定；正确作出辅助线、计算出各角的度数是解答本题的关键．