Question

12．设等腰三角形的顶角为x，一腰上的高与底边的夹角为y，则有：
①若x=50°，则y=25°；
②若x=80°，则y=40°；
③若x=110°，则y=55°；
根据以上计算，请你用一个等式归纳y与x之间存在的关系y=$\frac{1}{2}$x（或用一段文字表述它们之间的关系）．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数．

解答 解：①如图1，△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高．
∵∠A=x=50°，且AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-50°）÷2=65°；
在Rt△BDC中，
∠BDC=90°，∠C=65°；
∴∠DBC=y=90°-65°=25°．
故答案为：25°；
②如图1，△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高．
∵∠A=x=80°，且AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-80°）÷2=50°；
在Rt△BDC中，
∠BDC=90°，∠C=50°；
∴∠DBC=y=90°-50°=40°．
故答案为：40°；
③如图2，△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高．
∵∠BAC=x=110°，且AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-110°）÷2=35°；
在Rt△BDC中，
∠BDC=90°，∠C=35°；
∴∠DBC=y=90°-35°=55°．
故答案为：55°；
根据以上计算，y与x之间存在的关系是y=$\frac{1}{2}$x，
即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
故答案为：y=$\frac{1}{2}$x．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．求一个角的大小，常常通过三角形内角和来解决，注意应用．