Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（-4，0），B（1，0），交y轴于C点，且OC=2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上找点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标．
（3）在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ⊥AC于Q，使△APQ与△ABC相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定C（0，-2），设交点式y=a（x+4）（x-1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=2x-2，设D（m，2m-2），讨论：当BD=BA时，利用两点间的距离公式得到（m-1）²+（2m-2）²=5²，当AD=AB时，利用两点的距离公式得到（m+4）²+（2m-2）²=5²，然后分别解方程求出m即可得到满足条件的D点坐标；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，由于△ACO∽△ABC，△APQ与△ABC相似，则只有∠CAP=∠OAC，设直线AP交y轴于E，作CF⊥AE于P，则CF=CO=2，证明△ECF∽△EAO，利用相似比得到$\frac{EC}{EA}$=$\frac{CF}{AO}$=$\frac{1}{2}$，在Rt△AOE中利用勾股定理可计算出CE=$\frac{10}{3}$，则E（0，-$\frac{16}{3}$），再利用待定系数法确定直线AE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-2}\\{y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$可得到P点坐标．

解答 解：（1）∵B（1，0），OC=2OB，
∴C（0，-2），
设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-1），
把C（0，-2）代入得a•4•（-1）=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），即y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2；
（2）AB=1-（-4）=5，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（1，0），C（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=2x-2，
设D（m，2m-2），
∵△ABD为以AB为腰的等腰三角形，
∴BD=BA=5或AD=AB=5，
当BD=BA时，即（m-1）²+（2m-2）²=5²，解得m₁=1+$\sqrt{5}$，m₂=1-$\sqrt{5}$，此时D点坐标为（1+$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$），（1-$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$），
当AD=AB时，即（m+4）²+（2m-2）²=5²，解得m₁=1（舍去），m₂=-1，此时D点坐标为（-1，-4），
综上所述，满足条件的D点坐标为（1+$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$），（1-$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$），（-1，-4）；
（3）AB²=25，BC²=1²+2²=5，AC²=4²+2²=20，
∵AB²=BC²+AC²，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∵∠BAC=∠CAO，
∴△ACO∽△ABC，
∵△APQ与△ABC相似，
∴∠CAP=∠OAC，
∴AC平分∠BAP，
设直线AP交y轴于E，作CF⊥AE于P，则CF=CO=2，
∵∠CEF=∠AEO，
∴△ECF∽△EAO，
∴$\frac{EC}{EA}$=$\frac{CF}{AO}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△AOE中，∵OE²+OA²=AE²，
∴（2+CE）²+4²=（2CE）²，解得CE=-2（舍去）或CE=$\frac{10}{3}$，
∴E（0，-$\frac{16}{3}$），
设直线AE的解析式为y=mx+n，
把A（-4，0），E（0，-$\frac{16}{3}$）得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{3}}\\{n=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-2}\\{y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{3}}\\{y=-\frac{28}{9}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{28}{9}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；能运用两点间的距离公式和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．