Question

如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．
（1）当动点运动几秒时，△BDE与△ABC相似？
（2）设动点运动t秒时△ADE的面积为s，求s与t的函数解析式；
（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使CD⊥DE？若存在，求出时刻t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：设D点运动时间为t，则AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），
（1）当∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴BD：BA=BE：BC，即（4-t）：4=2t：5，
∴t=；
当∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴BD：BC=BE：BA，即（4-t）：5=2t：4，
∴t=；
所以当动点运动秒或秒时，△BDE与△ABC相似；

（2）过E作EF⊥AB于F，如图，
易证Rt△BEF∽Rt△BAC，
∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，
∴EF=，BF=，
∴S=AD•EF=•t•=t²（0≤t≤）；

（3）存在．
DF=AB-AD-BF=4-t-=4-t，
若CD⊥DE，
易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，
∴AC：DF=AD：EF，即3：（4-t）=t：，
∴t=．
分析：设D点运动时间为t，则AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），
（1）分类：当∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC；当∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BCA，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值；
（2）过E作EF⊥AB于F，易证Rt△BEF∽Rt△BAC，根据三角形相似的性质得到比例线段用t表示EF，BF，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）先计算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．