Question

如图，OB是矩形OABC的对角线，点B的坐标为（3，6）．D、E分别是OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，过D、E的直线交x轴于点F．
（1）点E的坐标为

 

；
（2）求直线DE的解析式；
（3）若点M是线段DF上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过E作EG⊥x轴于G，易得△OGE∽△OAB，根据相似三角形的对应边成比例可求出EG、OG的长，即可得到E点的坐标；
（2）有（1）的条件可用待定系数法求出直线DE的解析式；
（3）此题应分情况讨论：
①以OD、ON为边的菱形ODMN，根据直线DE的解析式可求出F点的坐标，即可得到OF的长；过M作MP⊥x轴于P，通过构建的相似三角形可求出M点的坐标，将M点向下平移OD个单位即可得到N点的坐标；
②以OD、OM为边的菱形ODNM，此时MN∥y轴，延长NM交x轴于P，可根据直线DE的解析式用未知数设出M点的坐标，进而可在Rt△OMP中，由勾股定理求出M点的坐标，将M点向上平移OD个单位即可得到N点的坐标；
③以OD为对角线的菱形OMCN，根据菱形对角线互相垂直平分的性质即可求得M、N的纵坐标，将M点纵坐标代入直线DE的解析式中即可求出M点坐标，而M、N关于y轴对称，由此可得到N点的坐标．

解答：解：（1）作EG⊥x轴于点G，则EG∥BA，
∴△OEG∽△OBA，
∴

OE

OB

=

OG

OA

=

EG

BA

，
又∵OE=2EB，
∴

OE

OB

=

2

3

，
∴

2

3

=

OG

3

=

EG

6

，
∴OG=2，EG=4，
∴点E的坐标为（2，4）；

（2）∵点D的坐标为（0，5），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
则

2k+b=4 b=5

，
解得k=-

1

2

，b=5，
∴直线DE的解析式为：y=-

1

2

x+5；

（3）答：存在
①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形．
作MP⊥x轴于点P，则MP∥y轴，
∴△MPO∽△FOD
∴

MP

OF

=

PD

OD

=

MD

FD

，
又∵当y=0时，-

1

2

x+5=0，
解得x=10，
∴F点的坐标为（10，0），
∴OF=10，
在Rt△ODF中，FD=

OD2+OF2

=

52+102

=5

5

，
∴

MP

10

=

PD

5

=

5

5 5

，
∴MP=2

5

，PD=

5

，
∴点M的坐标为（-2

5

，5+

5

），
∴点N的坐标为（-2

5

，

5

），
此时点M在第二象限，不在线段DF上，不符合题意，舍去；

②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．
∵点M在直线y=-

1

2

x+5上，
∴设M点坐标为（a，-

1

2

a+5），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，
∴a²+（-

1

2

a+5）²=5²，
解得：a₁=4，a₂=0（舍去），
∴点M的坐标为（4，3），
∴点N的坐标为（4，8）；

③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，
∴y_M=y_N=OP=

5

2

，
∴-

1

2

x_M+5=

5

2

，
∴x_M=5，
∴x_N=-x_M=-5，
∴点N的坐标为（-5，

5

2

）．
综上所述，x轴上方的点N有两个，分别为N₁（4，8），N₂（-5，

5

2

）．

点评：此题主要考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、一次函数解析式的确定以及菱形的判定和性质等知识的综合应用，需注意的是（3）题要根据菱形的不同构成情况分类讨论，以免漏解．