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已知如图①,∠MON=90°,点A是射线ON上的一个定点,OA=4,点B是射线OM上的一个动点,分别以OA、AB为边在∠MON的内部作等边三角形AOP和ABQ,连接PQ
(1)求∠APQ的度数.
(2)当点B在射线OM上移动时,四边形AOPQ的形状也随之发生变化.它能变化成一个平行四边形吗?若能,确定点B的位置;若不能,说明理由.
(3)若直线AP与BQ相交于点C,设△ABQ的面积为S1,四边形AOBP面积为S2,当S1=2S2时,判定BQ与OB的位置关系.(可利用备用图)
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分析:(1)关键等边三角形性质求出OA=AP,AB=AQ,∠OAP=∠BAQ=60°,推出∠OAB=∠QAC,证△APQ≌△AOB即可;
(2)根据OAP=60°∠APQ=90°,推出AO和PQ不平行即可判断答案;
(3)设OB=X,作PH⊥OM于H,根据面积公式求出S1 S2,即可求出答案.
解答:精英家教网解:(1)∵等边△ABQ,△AOP,
∴OA=AP,AB=AQ,∠OAP=∠BAQ=60°,
∴∠OAB=∠QAC,
∴△APQ≌△AOB,
∴∠APQ=∠AOB=90°.

(2)不能是平行四边形,理由是:
∵∠OAP=60°∠APQ=90°,
∴∠OAP≠∠APQ,
∴AO与PQ不平行,
∴四边形AOPQ不可能成为平行四边形.

(3)设OB=X,作PH⊥OM于H,
∵AO=OP=AP=4,
∴∠POM=30°,PH=2;
S2=S△AOP+S△OPB  
=
1
2
×4×2
3
+
1
2
x×2=4
3
+x
AB2=16+x2,AB=
16+x2
,AC=
3
2
16+x2

S1=
1
2
16+x2
3
2
16+x2
=
3
4
(16+x2)

3
4
(16+x2)=2(x+4
3)
,x=
8±16
2
3
=4
3
(∵x>0)

∴tan∠BAO=
3

∴∠BAO=60°,
∴AP与AB重合,BQ⊥OB.
点评:本题主要考查对等边三角形的性质,全等三角形的性质,平行四边形的性质,解直角三角形等知识点的理解和掌握,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.
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