Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC交AC于点E，交BA的延长线于点D，求证：
（1）MA²=MD•ME；
（2）

AE2

AD2

=

ME

MD

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据直角三角形的性质可以求出∠D=∠C，AM=CM，就可以求出∠D=∠MAE，就可以求出△EMA∽△AMD，得出

MA

MD

=

EM

MA

而得出结论；
（2）根据△EMA∽△AMD就可以得出

AE

AD

=

EM

AM

=

AM

MD

，就可以得出结论．

解答：证明：（1）∵DM⊥BC，
∴∠BMD=90°，
∴∠B+∠D=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠D=∠C．
∵M是BC的中点，
∴AM=MC=

1

2

BC，
∴∠MAE=∠C．
∴∠MAE=∠D．
∵∠AME=∠AMD，
∴△EMA∽△AMD，
∴

MA

MD

=

EM

MA

，
∴MA²=MD•ME；
（2）∵△EMA∽△AMD，
∴

AE

AD

=

EM

AM

=

AM

MD

，
∴

AE

AD

=

EM

AM

，

AE

AD

=

AM

MD

，
∴

AE

AD

•

AE

AD

=

EM

AM

•

AM

MD

，
∴

AE2

AD2

=

ME

MD

．

点评：本题考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形相似是关键．