Question

（2013•金山区一模）如图，已知一钝角△ABC中，BC=2

3

-2，∠C=30°，BC边上的高为2．试求：
（1）AB的长．
（2）∠BAC的度数．
（3）△ABC内切圆的半径．（结果精确到0.01）

Answer 1

分析：（1）过A作AD⊥BC，交CB延长线于D，求出AD，求出BD，根据勾股定理求出AB即可；
（2）根据AD=BD可求出∠ABD=45°，求出即可；
（2）设设⊙O的半径是r，由三角形面积公式得：

1

2

×BC×AD=

1

2

×（AB+BC+AC）r，求出即可．

解答：
解：（1）过A作AD⊥BC，交CB延长线于D，
∵∠C=30°，BC边上的高AD为2
∴AC=2AD=4，
由勾股定理得：DC=

42-22

=2

3

，
∴DB=DC-BC=2

3

-（2

3

-2）=2=AD，
由勾股定理得：AB=

22+22

=2

2

；

（2）∵AD=DB=2，
∴∠DAB=∠ABD，
∵∠D=90°，
即∠DAB=∠ABD=45°，
∴∠ABC=180°-45°=135°；

（3）
∵∠D=90°，∠C=30°，AD=2，
∴AC=2AD=4，
设⊙O的半径是r，
则由三角形面积公式得：

1

2

×BC×AD=

1

2

×（AB+BC+AC）r，
r=

BC×AD

AB+BC+AC

=

(2 3 -2)×2

2 2 +2 3 -2+4

≈0.35，
即⊙O的半径约为0.35．

点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内切圆等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算和推理的能力．