Question

18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BO是AC边上的中线，点P，D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E．

（1）求证：△BPO≌△PDE．
（2）若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（先将图形补充完整，然后再证明）

Answer 1

分析 （1）只要证明∠3=∠4，∠BOP=∠PED即可根据AAS证明；
（2）只要证明△ABP≌△CPD，即可推出AP=CD；

解答 证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB=BC，BO中线，
∴BO⊥AC，∠1=$\frac{1}{2}∠ABC$=45°，
∴∠1=∠C，
∵∠PBC=∠3+∠1，∠2=∠4+∠C，
∴∠3=∠4，．
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠BOP=∠PED}\\{BP=PD}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠ABP=∠4}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CPD，
∴AP=CD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．