Question

如图1，AC⊥CG，AC=，B是CG上一动点，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD．过D作直线DE⊥CG，垂足为E．
（1）若BC=2，则∠ABD=______．
（2）在（1）的条件下，求证：DE是以AB为直径的圆O的切线；
（3）点B由（1）的位置向点C运动，如图2直线DE与以AB为直径的圆O交于D、F两点，当∠DAF=∠CAB时，求∠CAB的大小和BC的长．

Answer 1

解：（1）连结AD，
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，
∴△ADB≌△ACB，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵O为AB的中点，
∴OD=OB=AB，
∴点D在⊙O上，
在Rt△ACB中，AC=2，BC=2，
∴cot∠CAB==，
∴∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠ABD=60°，

（2）∵∠ABC=∠ABD=60°，
∴∠DBE=60°，
∵∠DEB=90°，
∴∠BDE=30°，
∵OB=OD，∠ABD=60°，
∴△BDO是等边三角形，
∴∠BDO=60°，∠EDO=∠BDE+∠BDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是以AB为直径的圆O的切线；

（3）∵∠DAF=∠CAB，
∴∠DAF=∠CAB=∠DAB，
∴==，
又∵CG⊥DF，AC⊥CG，
∴DF∥AC，
∴==2，=4，
又∵AB是直径，
∴=4=180°，=45°，
∴∠CAB=22.5°，BC=AC×tan22.5°=2×（-1）=2-2．
分析：（1）先证明∠ADB=∠ACB=90°，再根据O为AB的中点，OD=OB=AB，得出点D在⊙O上，再根据cot∠CAB==，得出∠CAB=∠BAD=30°，从而求出∠ABC=∠ABD=60°；
（2）先求出∠DBE=60°，再根据∠DEB=90°，得出∠BDE=30°，再证明△BDO是等边三角形，得出∠BDO=60°，∠EDO=∠BDE+∠BDO=90°，OD⊥DE，即可证出DE是以AB为直径的圆O的切线；
（3）根据∠DAF=∠CAB，得出∠DAF=∠CAB=∠DAB，则==，再根据CG⊥DF，AC⊥CG，得出DF∥AC，==2，=4，最后根据=4=180°，=45°，求出∠CAB=22.5°，BC=AC×tan22.5°．
点评：此题考查了切线的判定，用到的知识点是轴对称、切线的判定、解直角三角形、等边三角形等，关键是综合应用有关性质，列出算式，求出答案．