Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，如果BE=EC，CD=4CF，那么与△AEF相似的三角形是

 

（只需写出一个）．

Answer 1

分析：首先由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，又由BE=EC，CD=4CF，易证得△ABE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，即可证得△AEF∽△ABE，则可得△AEF∽△ABE∽△ECF．

解答：解：与△AEF相似的三角形是△ABE或△ECF．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵BE=EC，CD=4CF，
∴

BE

FC

=

AB

EC

=

1

2

，
∴△ABE∽△ECF，
∴

AE

EF

=

AB

EC

，∠BAE=∠CEF，
∴

AE

EF

=

AB

BE

，
即

AB

AE

=

BE

EF

，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠B，
∴△AEF∽△ABE，
∴△AEF∽△ABE∽△ECF．
故答案为：△ABE或△ECF．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．