Question

如图，在正方形ABCD中，从点A引两条射线?₁，?₂，分别过点B、D作?₁，?₂的垂线，垂足为B₁，B₂，D₁，D₂，连接B₁B₂、D₁D₂．试探求B₁B₂与D₁D₂之间的关系，并说明理由．

Answer 1

答：B₁B₂=D₁D₂，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵从点A引两条射线?₁，?₂，分别过点B、D作?₁，?₂的垂线，垂足为B₁，B₂，D₁，D₂，
∴∠DD₂A=∠DD₁A=∠BB₁A=∠BB₂A=90°，
∴∠2+∠DAD₁=90°，
∵∠5+∠DAD₁=90°，
∴∠2=∠5，
在△DD₁A和△AB₁B中，
，
∴△DD₁A≌△AB₁B，
∴AD₁=BB₁，∠DAD₁=∠ABB₁，
同理可证：△DD₂A≌△AB₂B，
∴AD₁=BB₂，∠DAD₂=∠1，
∵∠DAD₁=∠DAD₂+∠D₂AD₁，∠ABB₁=∠1+∠4，
∴∠D₂AD₁=∠4，
在△DD₁A和△AB₁B中中，
，
∴△DD₁A≌△AB₁B，
∴B₁B₂=D₁D₂．
分析：本题中B₁B₂=D₁D₂，根据正方形的性质和垂直的定义以及利用同角的余角相等即可证明△DD₁A≌△AB₁B，同理再证明△DD₂A≌△AB₂B，进而证明B₁B₂=D₁D₂．
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质以及垂直得到90°的角和同角的余角相等这一规律，题目的难点在于证明两步全等．