Question

如图，在平面直角坐标xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C，分别在y轴负半轴和x轴正半轴上，顶点B在第四象限，圆P与正方形边都相切，与x轴切点为D，在⊙P上有一动点Q使得三角形ODQ为等腰三角形，请写出△OAC区域内所有符合条件的点Q的坐标

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：分三种情况：①当Q为⊙P与y轴负半轴的切点时，②以点D为圆心，连接DQ，DP，PQ，1为半径作圆交⊙P于点Q，③如图作OD的垂直平分线，交圆于点Q，与点N分别求解即可．

解答：解：①如图1，当Q为⊙P与y轴负半轴的切点时，

∵正方形OABC的边长为2，
∴⊙P的半径为1，
∴OQ=1，
∴Q（0，-1），
②如图2，以点D为圆心，连接DQ，DP，PQ，1为半径作圆交⊙P于点Q，作QM⊥OC交于点M，

∵DP=DQ=PQ=1，
∴∠PDQ=60°，
又∵圆P与正方形边都相切，
∴∠QDM=30°，
∴DM=

3

2

，QM=

1

2

，
∴OM=1-

3

2

，
∴Q（1-

3

2

，

1

2

），
③如图3，作OD的垂直平分线，交圆于点Q，作PN垂直于OD的垂直平分线于点N，

∵PQ=1，PN=

1

2

，
∴NQ=

3

2

，
∴Q（

1

2

，

3

2

-1），
综上所述：Q的坐标是（0，-1），（1-

3

2

，

1

2

），（

1

2

，

3

2

-1）．
故答案为：（0，-1），（1-

3

2

，

1

2

），（

1

2

，

3

2

-1）．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是数形结合，分类讨论的思想求解．