Question

（2011•犍为县模拟）如图，O是坐标原点，直线OA与双曲线y=

k

x

（k≠0）在第一象限内交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若OB=4，tan∠AOB=

1

2

．
（1）求双曲线的解析式；
（2）直线AC与y轴交于点C（0，1），与x轴交于点D，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据正切的定义得到

AB

OB

=

1

2

，而OB=4，得到AB=2，则A点坐标为（4，2），然后把A（4，2）代入y=

k

x

即可求出k，从而确定双曲线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后确定D点坐标，最后根据勾股定理计算出AD的长．

解答：解：（1）∵AB⊥x轴，OB=4，tan∠AOB=

1

2

，
∴

AB

OB

=

1

2

，
∴AB=2，
∴A点坐标为（4，2），
把A（4，2）代入y=

k

x

得，k=4×2=8，
∴双曲线的解析式为y=

8

x

；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（4，2）、C（0，1）代入得，4k+b=2，b=1，解得k=

1

4

，b=1，
∴直线AC的解析式为y=

1

4

x+1，
令y=0，则

1

4

x+1=0，解得x=-4，
∴D点坐标为（-4，0），
在Rt△ABD中，AB=2，BD=8，
∴AD=

AB2+BD2

=

22+82

=2

17

．

点评：本题考查了反比例函数综合题：先利用几何条件确定反比例函数图象上点的坐标，再利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后利用反比例函数的性质解决问题．也考查了勾股定理．