Question

（2005•东城区一模）已知关于x的一元二次方程（m+1）x²-2（m+1）x+m-1=0．
（1）当m取何值时，方程有两个实数根？
（2）设x₁、x₂是方程的两个实数根，且满足

x

2 1

x2+x1

x

2 2

=1-m，求m的值．

Answer 1

分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b²-4ac≥0，且m+1≠0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和=-

b

a

，两根之积=

c

a

，首先写出两根之和，再写出两根之积，然后把x₁²x₂+x₁x₂²分解因式，代入x₁x₂与x₁+x₂的值，可以得到关于m的方程，再解方程，求出符合题意的解即可．

解答：解：（1）依题意得：

m+1≠0 △=[2(m+1)]2-4(m+1)(m-1)≥0

，
解得：m＞-1；
（2）由根与系数的关系，得

x1+x2=2 x1•x2= m-1 m+1

，
∴

x

2 1

x2+x1

x

2 2

=1-m，
=x₁x₂（x₁+x₂），
=2×

m-1

m+1

，
=1-m，
整理，得m²+2m-3=0，
解得m₁=1，m₂=-3，
∵m＞-1，
∴m=-3不合题意，舍去，
∴m=1．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式与方程解的个数的关系，关键是熟练掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系：两根之和=-

b

a

，两根之积=

c

a

，及一元二次方程的根与△=b²-4ac的关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．