Question

如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）如果∠A=60°，∠ABC=50°，求∠E的度数；
（2）猜想：∠E与∠A有什么数量关系；（写出结论即可）
（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：此类题运用三角形的内角和定理及其推论，和角平分线的定义即可解决．

解答：解：（1）根据外角的性质得∠ACD=∠A+∠ABC=60°+50°=110°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠1=

1

2

∠ACD=55°，∠2=

1

2

∠ABC=25°
∵∠E+∠2=∠1，
∴∠E=∠1-∠2=30°；

（2）猜想：∠E=

1

2

∠A；

（3）∵BE、CE是两外角的平分线，
∴∠2=

1

2

∠CBD，∠4=

1

2

∠BCF，
而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠2=

1

2

（∠A+∠ACB），∠4=

1

2

（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4=180°，
∴∠E+

1

2

（∠A+∠ACB）+

1

2

（∠A+∠ABC）=180°，
即∠E+

1

2

∠A+

1

2

（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠E+

1

2

∠A=90°．

点评：特别注意此题中发现的结论，充分运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念导出：图①中，∠E=

1

2

∠A；图②中，∠E=90°-

1

2

∠A．